Dies ist die Einleitung meiner Diplomarbeit, die kurz beschreibt was in der Arbeit geschieht. Die komplette Arbeit (500 K) gibt es auf Anfrage per Mail.


Überblick über Inhalt und Ergebnisse der Arbeit

Wir werden uns in dieser Arbeit vorwiegend mit einem Modell befassen, das Y. Peres, C. Kenyon, W. Evans und L.J. Schulman 1998 in ihrem Artikel ``Broadcasting on trees and the Ising-Modell'' eingeführt haben.


In diesem Modell wird ein Signal, das die Werte +1 oder -1 haben kann, von der Wurzel eines Baumes aus entlang der Äste eines unendlichgroßen Baumes übertragen. Die Kanten des Baumes agieren dabei als Übertragungskanäle zwischen den Knoten. Jede Kante kann das Signal korrekt übertragen oder es flippen, das heißt, das Vorzeichen des Signals umkehren.

Das Übertragungsverhalten der Kanten ist zufällig. Mit einer festen Wahrscheinlichkeit e, die zwischen 0 und 1/2 liegt, verfälscht eine Kante das Signal. Dies geschieht an allen Kanten unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Es stellt sich nun die Frage, wie groß diese Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens sein darf, damit das was in der Krone des Baumes ankommt, noch etwas zu tun hat mit dem, was in der Wurzel eingespeist wird. Mit anderen Worte: Sind die Signale auf Knoten, die einen Abstand n von der Wurzel haben, für n gegen unendlich asymptotisch unabhängig vom Signal in der Wurzel? Eine Möglichkeit, den Grad der Abhängigkeit zu messen ist die sogenannte Information, dem Kullback-Leibler-Abstand von gemeinsamer Verteilung zur Produkt-Verteilung, die in Definition 16 eingeführt wird.

Wir werden sehen, daß es eine kritische Schwelle ecI für Informationsübertragung gibt. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als ecI, so ist die Information, die zwischen Wurzel und Krone übertragen wird, 0. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als ecI, so wird Information übertragen. Dieser kritische Wert ecI hängt nur von der Branching-Number, einer Art mittleren Verzweigungszahl, des Baumes (vgl. Definition 1) ab.


Wir werden sehen, daß das Broadcasting-Modell eine elegante Formulierung eines wohlbekannten Modells, des Ising-Modells mit freien Randbedingungen, ist.


Im Ising-Modell hat jeder Knoten des Baumes einen ``magnetischen'' Spin, der entweder +1 oder -1 sein kann. Spins direkt benachbarter Knoten beeinflussen sich, in dem sie versuchen, den gleichen Wert anzunehmen. Diesem Effekt wirkt ein thermischer Einfluß entgegen, der mittels eines als Temperatur bezeichneten Parameters modelliert wird.

Die klassische Frage im Ising-Modell ist, ob Phasenübergang stattfindet. Wir wollen Phasenübergang als das Phänomen verstehen, daß die Wurzel des Baumes die Vorgabe von Randbedingungen auf der Krone des Baumes spürt. Ist dies der Fall, so sagen wir, daß Phasenübergang stattfindet. Auch dies ist eine Form der gegenseitigen Beeinflussung zwischen Wurzel und Krone des Baumes.

Russel Lyons hat 1989 in seinem Artikel ``The Ising-Model on trees and tree-like Graphs'' das Ising-Modell auf Bäumen untersucht und gezeigt, daß es eine kritische Temperatur tc für Phasenübergang gibt. Ist die Temperatur höher als tc, so spürt die Wurzel nichts von den Randbedingungen der Krone; ist die Temperatur geringer als tc, so haben die Randbedingungen Einfluß auf die Wurzel. Auch hier hängt die kritische Temperatur nur von der Branching-Number des Baumes ab.


In der Broadcasting-Formulierung des Modells ist der Fluß von Information ein naheliegendes Werkzeug, um die Beeinflussung von Wurzel und Krone zu messen, in der Ising-Formulierung ist die Existenz von Phasenübergang ein ebenso naheliegendes Werkzeug, ebendiesen Einfluß zu messen.

Wir werden die beiden Arten der Beeinflussung miteinander vergleichen und können zeigen, daß für die Übertragung von Information stets eine stärkere Interaktion zwischen den Knoten notwendig ist, als für den Einfluß der Randbedingungen aus der Krone.


Als letztes Phänomen werden wir untersuchen, ob es einen Pfad im Baum gibt, der in der Wurzel startend nur Knoten gleichen Spins besucht und die unendlich weit entfernte Krone erreicht. Wir bezeichnen dieses Phänomen als Spinperkolation.

Wir werden die Berechnung der kritischen Interaktion für Spinperkolation in einem Bernoulli-Feld auf den Kanten rekapitulieren und dann zeigen, daß die Existenz eines solchen Perkolationspfades nur von der Interaktionsstärke des Modells und nicht von etwaigen Randbedingungen abhängt. Dabei kombinieren wir Ergebnisse aus zwei Arbeiten von Lyons und die Erkenntnis, daß Broadcasting-Modell und freies Ising-Modell identisch sind. Wir erhalten so einen neuen, einfachen Beweis über die kritische Interaktion für Spinperkolation in der Plus-Phase des Ising-Modells, die Lyons bereits in der oben erwähnten Arbeit berechnet hat.


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last change: 26-12-2001